Halaman
125BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers FungsiKomposisi Fungsidan Invers FungsiSetelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat:1. membedakan pengertian relasi dan fungsi,2. memberikan contoh fungsi-fungsi sederhana,3. menjelaskan sifat-sifat fungsi,4. menentukan aturan fungsi dari komposisi dua fungsi,5. menentukan nilai fungsi komposisi terhadap komponen pembentuknya,6. menentukan komponen fungsi jika aturan komposisinya diketahui,7. memberikan syarat agar fungsi mempunyai invers,8. menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi,9. menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya.IIIBABTujuan Pembelajaran
Matematika Kelas XI - IPS SMA126Sebuah perusahaan menggunakandua buah mesin untuk memproduksibahan mentah menjadi bahan jadi. MesinI mengubah bahan mentah menjadi bahansetengah jadi, dan mesin II mengubahbahan setengah jadi menjadi bahan jadi.Kinerja mesin I mengikuti fungsi f(x) =3x 2, sedangkan mesin II kinerjanyamengikuti fungsi g(x) = 5x + 18, dengan xadalah banyak bahan mentah yangdisediakan. Jika bahan mentah yangtersedia untuk produksi sebanyak 10 kg,berapa unit barang jadi yang dihasilkan?Sebaliknya, jika proses produksimenghasilkan 683 unit barang jadi, berapa kg bahan mentah yang harus disediakan?Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, Anda sebaiknya ingat kembali beberapakonsep tentang himpunan, bentuk pangkat dan akar, persamaan linear, dan persamaan kuadrat.Dengan telah menguasai konsep-konsep ini, maka permasalahan di depan akan denganmudah diselesaikan.3.1 Produk Cartesius dan RelasiProduk CartesiusPasangan bilangan (x, y) dengan x sebagai urutan pertama dan y sebagai urutankedua disebut pasangan terurut. Karena urutan diperhatikan, maka pasangan terurut(2, 5) dan (5, 2) memberikan dua makna yang berbeda. Selanjutnya, misalkan diketahuidua himpunan tak kosong, A dan B. Dari dua himpunan ini kita dapat membentukhimpunan baru C yang anggota-anggotanya adalah semua pasangan terurut (x, y) dengan∈xA sebagai urutan pertama dan ∈yB sebagai urutan kedua. Himpunan C yangdibentuk dengan cara ini disebut produk Cartesius atau perkalian Cartesius himpunanA dan himpunan B, yang disimbolkan dengan A × B. Oleh karena itu, produk Cartesiusdapat didefinisikan berikut ini.Definisi 3.1Jika A dan B adalah dua himpunan tak kosong, maka produk Cartesiushimpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x, y) dengan∈xA dan ∈yB. Ditulis dengan notasi:{}×=∈∈(,)| dan AB xyx A yBGambar 3.1Sumber: www.quantum 5280Pengantar
127BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers FungsiGrafik dari produk Cartesius disebut grafik Cartesius. Ide perkalian himpunanA × B pertama kali diperkenalkan oleh Renatus Cartesius yang nama aslinya adalahRene Descartes (1596 1650), matematikawan berkebangsaan Perancis.Contoh 3.1.1Diberikan himpunan A = {a, b, c} dan B = {1,2}. Tentukan tiap produk Cartesius berikut.a.A × Bb.B × Ac.A × APenyelesaian:a.{}×=∈∈(,)| dan AB xyx A yB = {(a,1), (b,1), (c,1), (a, 2), (b, 2), (c, 2)},b.{}×=∈∈(,)| dan BA xyxB yA = {(1, a), (2, a), (1, b,), (2, b), (1, c), (2, c)},c.{}×=∈∈(,)| dan AA xyx A yA= {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}.WDalam Contoh 3.1.1, himpunan A mempunyai 3 anggota dan himpunan B mempunyai2 anggota. Dari penyelesaian pertama tampak bahwa produk Cartesius A × B mempunyai3 × 2 = 6 anggota, yaitu (a,1), (b,1), (c,1), (a, 2), (b, 2), dan (c, 2). Secara umum, jika banyakanggota himpunan A adalah m dan banyak anggota himpunan B adalah n, maka banyakanggota produk Cartesius A × B adalah m × n.RelasiKita perhatikan kembali produk Cartesius dari himpunan A = {a, b, c} denganhimpunan B = {1,2} pada Contoh 3.1.1 bagian (a), yaitu:A × B = {(1, a), (2, a), (1, b,), (2, b), (1, c), (2, c)}Dari produk Cartesius A × B ini kita dapat mengambil beberapa himpunan bagian,misalnya:R1 = {(1, a), (2, a), (1, b,), (1, c), (2, c)},R2 = {(1, b,), (2, b), (1, c), (2, c)},R3 = {(2, a), (1, c)}.Himpunan R1, R2, dan R3 yang merupakan himpunan bagian dari produkCartesiusAB×, kita katakan sebagai relasi atau hubungan dari himpunan A kehimpunan B. Dengan pemaparan ini suatu relasi atau hubungan dapat didefinisikanberikut ini.Definisi 3.2Suatu relasi atau hubungan dari himpunan A ke himpunan B adalahsembarang himpunan bagian dari produk Cartesius A × B.Jika R adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B dan pasangan terurut (x, y)adalah anggota R, maka dikatakan xberelasi dengan y, ditulis x R y. Tetapi jika pasangan(x, y) bukan anggota R, maka dikatakan xtidak berelasi dengan y, ditulis xRy. Untukketiga relasi di atas:R1 = {(1, a), (2, a), (1, b,), (1, c), (2, c)}, 1 R1 a, 2 R1 a, 1 R1b, 1 R1c, dan 2 R1c, tetapi 21Rb.R2 = {(1, b,), (2, b), (1, c), (2, c)}, 1 R2b, 2 R2b, 1 R2c, dan 2 R2 c, tetapi 12Ra, dan 22Ra.R3 = {(2, a), (1, c)}. 2 R3a dan 1 R3c, tetapi 13Ra, 13Rb, 23Rb, dan 23Rc.
Matematika Kelas XI - IPS SMA128Misalkan R adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B yang ditulis sebagai{}=∈ ∈(,)| dan RxyxA yB. Himpunan semua ordinat pertama dari pasangan terurut(x,y) disebut daerah asal atau domain, ditulis dengan DR. Himpunan B disebut daerahkawan atau kodomain, ditulis dengan KR. Himpunan semua ordinat kedua dari pasanganterurut (x,y) disebut daerah hasil atau range, ditulis dengan RR.Sebagai contoh, jika A = {x, y, z} dan B = {1, 2, 3}, dan R adalah relasi dari A ke B yangdiberikan oleh R = {(x,1), (y, 1), (z, 2)}, maka:- daerah asalnya adalah DR= {x, y, z}- daerah kawannya adalah KR= {1, 2, 3}- daerah hasilnya adalah RR= {1, 2}Relasi {}(,)| dan RxyxA yB=∈ ∈dapat digambarkan dengan dua cara, yaitudengan menggunakan diagram panah atau grafik pada bidang Cartesius.Contoh 3.1.2Misalakan A= {2, 3, 4, 6, 8} dan B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.a. Jika ∈aA dan ∈bB, tentukan relasi R dari A ke B yang menyatakan relasi adua kalib.b. Tunjukkan relasi R dengan diagram panah.c. Tunjukkan relasi R dalam grafik Cartesius.Penyelesaian:a. Relasi R= {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4)}b. Diagram panah untuk R adalah:Gambar 3.2 Diagram Panah Relasi Rc. Grafik Cartesius dari R adalah:Gambar 3.3 Grafik Cartesius Relasi RWA23468012345B2 3 4 5 6 8123450yx
129BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi1. Misalkan A adalah himpunan dari semua siswa di kelas Anda, dan B = {motor, angkot,bus, sepeda, jalan kaki}. Buatlah relasi ke sekolah dengan dari himpunan A ke himpunanB dengan diagram panah.2. Pilih 10 teman sekelas Anda. Namakan A adalah himpunan yang anggotanya teman-temanAnda tadi, dan ambil himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }.a. Dengan diagram panah buatlah relasi anak nomor ke dari A ke B.b. Tulislah relasi itu sebagai pasangan terurut.3. Setiap relasi berikut adalah relasi dari himpunan A = {1, 2, 3, 4} ke himpunan B = {p, q, r, s}.Tentukan daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasilnya.a. {(1, p), (2, q), (4, r), (4, s)} c. {(1, r), (2, r), (4, r), (4, r)}b. {(1, q), (2, q), (3, r), (4, s)} d. {(1, p), (1, q), (3, r), (3, s)}4. Misalkan A = {3, 4, 6, 7, 12 } dan B = { 1, 6, 8, 12, 35, 36 }.a. Gambarkan diagram panah dari relasi adalah faktor dari dari himpunan A ke B.b. Tuliskan relasi itu dalam pasangan terurut.c. Gambarkan grafik Cartesiusnya.5. Himpunan pasangan terurut dari dua himpunan ditentukan dengan:{(1 ,2), (1,4), (3,6), (5,8), (7,10)}Tuliskan anggota kedua himpunan yang dimaksud. Buatlah suatu relasi yang mungkindari himpunan pertama ke himpunan kedua.6. Suatu relasi R diberikan oleh:{(12,8), (1,4), (2,2), (4,1), (8,12)}a. Tuliskan anggota-anggota dari himpunan pertama dan anggota-anggota himpunankedua. Nyatakan suatu relasi yang mungkin dari himpunan pertama ke himpunankedua.b. Gambarkan grafik Cartesius relasi R itu, kemudian gambarkan kurva yang melaluititik-titik dari relasi R.3.2 Fungsi atau PemetaanDiagram panah pada Gambar 3.4 menunjukkan relasi ukuran sepatunya darihimpunan siswa-siswa (A) ke himpunan ukuran-ukuran sepatu(B). Setiap siswa hanyamempunyai tepat satu ukuran sepatu, sehingga setiap anggota A dipasangkan dengantepat satu anggota B.Latihan 3.1
Matematika Kelas XI - IPS SMA130Gambar 3.4Diagram Panah Relasi Ukuran SepatunyaRelasi dari A ke B yang mempunyai sifat seperti di atas disebut fungsi atau pemetaan,yang definisi formalnya diberikan berikut.Definisi 3.3Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yangmengawankan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.Suatu fungsi f yang memetakan setiap x anggota himpunan A ke y anggota himpunanB, dinotasikan dengan:f : x→y = f(x)Yang dibaca: f memetakan x ke y , y disebut peta (bayangan) dari x oleh f ataunilai fungsif, dan x disebut prapeta dari y oleh f. Sebagai contoh, jika fungsi:f : x→x2 + 3x 1maka f(x) =x2 + 3x 1. Nilai f(x) =x2 + 3x 1 disebut rumus untuk fungsif. Grafikfungsi f dimaksudkan adalah himpunan pasangan (x, y) pada bidang, sehingga (x, y)adalah pasangan terurut dalam f.Dari definisi di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa pasangan terurut pada fungsimempunyai sifat bahwa setiap anggota A hanya muncul sekali menjadi elemen pertamadalam pasangan-pasangan terurut tersebut. Oleh karena itu, (4,2) dan (4,9) tidak mungkinmuncul bersama sebagai pasangan-pasangan terurut pada fungsi.Sebagaimana pada relasi, untuk fungsi dari himpunan A ke himpunan B kitamempunyai istilah-istilah yang sama. Himpunan A disebut daerah asal atau daerahdefinisi (domain), ditulis Df. Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain), ditulisKf. Himpunan semua peta dalam B disebut daerah hasil (range), ditulis Rf. Untuk contohfungsi di depan, fungsinya adalah ukuran sepatunya dengan:- daerah asal adalah A = {Kia, Tia, Nia, Lia, Mia},- daerah kawan adalah B = { 36, 37, 38, 39, 40, 41},- daerah hasil adalah { 37, 38, 39, 40}.ABukuran sepatunyaKiaTiaNiaLiaMia363738394041
131BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers FungsiContoh 3.2.1Dengan daerah asal A = {a, b, c} dan daerah kawan ke B = {1, 0, 1}, manakah relasi-relasiberikut yang merupakan fungsi dari A ke B?a.R1 = {(a, 1), (b, 1), (c, 0), (c, 1)}b.R2 = {(a, 0), (b, 1), (c, 0)}Penyelesaian:Relasi R1 bukan fungsi, karena elemen c mempunyai dua kawan, yaitu 0 dan 1. Tetapi R2adalah suatu fungsi karena setiap anggota A mempunyai tepat satu kawan dengananggota B.WContoh 3.2.2Dari relasi yang diberikan oleh diagram panah berikut, manakah yang merupakan fungsi?Gambar 3.5Penyelesaian:Dari dua relasi tersebut yang merupakan fungsi adalah relasi (b). Relasi (a) bukan fungsikarena elemen 4 tidak mempunyai kawan, dan juga elemen 5 mempunyai dua kawan.WContoh 3.2.3Manakah dari dua relasi yang diberikan oleh grafik Cartesius berikut yang merupakanfungsi? Gambar 3.6(a) (b)1234aeioabcd11ABST(a) (b)5
Matematika Kelas XI - IPS SMA132Penyelesaian:Grafik Cartesius adalah grafik dari pasangan terurut dari relasi. Karena fungsi adalahrelasi dengan elemen pertama pada pasangan berurutan mempunyai tepat satu kawan,maka grafik Cartesius adalah grafik fungsi apabila kita buat garis vertikal akan memotonggrafik tersebut tepat di satu titik. Jadi, (a) fungsi, dan (b) bukan fungsi.WUntuk kajian selanjutnya, notasi ¡ menyatakan himpunan semua bilangan real.Contoh 3.2.4Fungsi f : x→x2 dengan daerah asal A = {5, 4, 3,
, 3, 4, 5}. Tentukan daerah hasildan grafiknya.Penyelesian:Daerah hasilnya adalah {0, 1, 4, 9, 16, 25}. Grafiknya adalah:Gambar 3.7WContoh 3.2.5Diberikan fungsi f : →¡¡ dengan rumus f(x) = x2 4x + 5, ∈¡x.a. Tentukan f (0), f (4), f(6), dan f(1).b. Tentukan bilangan a, sehingga f(a) = 17.c. Gambarkan grafik fungsi y = f(x) = x2 4x + 5 dalam bidang Cartesius.d. Tentukan daerah hasil f, jika daerah asal f ditentukan sebagai Df = {}∈≤<¡|15xx.Penyelesaian:Dari rumus yang diketahui y = f(x) = x2 4x + 5, ∈¡x, maka setiap bilangan real xdipetakan ke bilangan real y yang nilainya sama dengan x2 4x + 5.a. Untuk x = 0, maka f(0) = 02 4(0) + 5 = 5,untuk x = 3, maka f(3) = 32 4(3) + 5 = 2,untuk x = 5, maka f(5) = 52 4(5) + 5 = 10,untuk x = 1, maka f(1) = (1)2 4(1) + 5 = 10.201510 54 2 024yx
133BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsib. Untuk x = a, maka f(a) = a2 4a + 5. Karena diketahui f(a) = 17, maka diperolehhubungan:a2 4a + 5 = 17 ⇔a2 4a 12 = 0⇔(a 6)(a + 2) = 0⇔ a = 6 atau a = 2c. Grafik fungsi y = f(x) = x2 4x + 5 diperlihatkan pada Gambar 3.7.Gambar 3.8Grafik Fungsi y = f(x) = x2 4x + 5d. Dari Gambar 3.7, untuk daerah asal Df = {}∈≤<¡|14xx diperoleh daerah hasil Rf= {}∈≤<¡|110yy.WContoh 3.2.6Fungsi f pada ¡ ditentukan dengan rumus f(x) = ax + b, dengan a, b ∈¡. Diketahuif (1) = 9 dan f(2) = 3, tentukan nilai a dan b. Kemudian hitung f(x+h) dan +−()()fx h fxh,0h≠.Penyelesaian:Karena f(x) = ax + 6, maka f(1) = a + b = 9 dan f(2) = 2a + b = 3. Kita mempunyai sistempersamaan dalam a dan b:(i) a + b = 9 (ii) 2a + b = 3Dengan menyelesaikan sistem persamaan ini, diperoleh a = 2 dan b = 7. Jadi, diperolehrumus f(x) = 2x + 7. Kemudian,f(x + h) = 2(x + h) + 7 = 2x + 2h +710 1 2 3 4 5 68642Daerah hasilDaerah asal
Matematika Kelas XI - IPS SMA134Untuk 0h≠,2()()(2 2 7) (2 7)2fx h fxxhxhhhh=+−++−+==WJika daerah asal fungsi f tidak atau belum diketahui, maka daerah asal f diambilsemua himpunan bilangan real yang mungkin, sehingga daerah hasilnya adalahhimpunan bilangan real. Daerah asal seperti ini sering disebut daerah asal alami.Contoh 3.2.7Tentukan daerah asal alami untuk setiap fungsi berikut.a.1()3fxx=−b.2() 16fx x=−c.21()56fxxx=−+Penyelesaian:a. Fungsi 1()3fxx=− bernilai real asalkan penyebutnya tidak sama dengan 0.Hal ini dipenuhi apabila 3x≠. Jadi, daerah asal alami 1()3fxx=− adalahDf = {}|3xx∈≠¡.b. Fungsi 2() 16fx x=− bernilai real asalkan bilangan di bawah tanda akar tidakbernilai negatif, sehingga harus dipenuhi 216 0x−≥:216 0x−≥⇔(4)(4)0xx−−≥⇔4x≤− atau 4x≥Jadi, daerah asal alami 2() 16fx x=− adalah {}|4 atau 4fDx xx=∈ ≤−≥¡.c. Fungsi 21()56fxxx=−+ bernilai real asalkan penyebutnya tidak sama dengan 0,yaitu apabila bilangan di bawah tanda akar bernilai positif, sehingga harus2 560xx−+>,2 560xx−+>⇔(2)(3)0xx−−>⇔2x≤ atau 3x≥Jadi, daerah asal alami 21()56fxxx=−+ adalah Df = {}|2 atau 3xxx∈≤≥¡.W
135BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi1. Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c}. Apakah relasi-relasi dari A ke B berikut merupakanfungsi? Jika tidak mengapa?a.R1 = {(1, a), (3, b), (4, c)}c.R3 = {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a)}b.R2 = {(1, c), (2, b), (3, c), (4, c)} d.R4 = {(1, b), (2, b), (3, a), (4, c)}2. Tentukan daerah asal, daerah kawan, dan daearh hasil untuk fungsi-fungsi pada soalnomor 1.3. Dari relasi-relasi pada himpunan A = {1, 2, 3, 4} dinyatakan dengan diagram panah berikut,manakah yang merupakan fungsi?Gambar 3.94. Tentukan daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil untuk fungsi-fungsi pada soalnomor 3.5. Dari relasi pada ¡ yang digambarkan dalam bidang Cartesius pada Gambar 3.9, manakahyang merupakan suatu fungsi?Gambar 3.106. Fungsi :f→¡¡ ditentukan oleh f(x) = 2x.a. Tentukan f(0), f(1), f(2), dan f(2).b. Elemen mana dari daerah asal sehingga petanya 64?Latihan 3.2AA AA AA123412341234123412341234(a)(b)(c)yxyxyx(a)(b)(c)
Matematika Kelas XI - IPS SMA1367. Diketahui fungsi :f→¡¡, dengan f(x) = ax2 + bx 3, x∈¡, f (1) = 0 dan f (3 ) = 12.a. Tentukan nilai a dan b.b. Hitung f(0), f(2), f(5), dan f(2).c. Gambarkan skesta grafik fungsi y = f(x) pada bidang Cartesius.d. Tentukan daerah hasil fungsi f, jika daerah asal fungsi f diambil himpunan berikut.(i){}|31fDxx=∈ −≤≤¡(ii){}|14fDxx=∈ −≤≤¡8. Tentukan daerah asal alami untuk setiap fungsi berikut ini.a.21()34fxxx=−−c.21()5fxxx=−b.() 3 2fx x=+d.−=−29()3xfxx9.IndustriSuatu pabrik pembuat kotak kaleng akan membuat suatu kotak tanpa tutup dari selembarkaleng berukuran 8 × 15 inci dengan cara memotong keempat persegi di sudutnya danmelipat bagian sisinya.a. Jika panjang sisi persegi yang dipotong adalah x inci, nyatakan volume kotak sebagaifungsi dari x.b. Tentukan daerah asal fungsi ini.10. Suatu tanah lapang berbentuk persegi panjang dikelilingi pagar sepanjang 240 m.a. Jika x meter menyatakan panjang tanah lapang tersebut, nyatakan luas tanah lapangtersebut (dalam meter persegi) sebagai fungsi dari x.b. Apakah daerah asal fungsi ini?3.3 Beberapa Fungsi KhususBerikut ini akan kita pelajari beberapa jenis fungsi yang mempunyai ciri-ciri khususyang sering kita jumpai dalam penerapan. Termasuk jenis fungsi khusus, antara lainfungsi konstan, fungsi identitas, fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi modulus, fungsitangga, fungsi genap, dan fungsi ganjil3.3.1.Fungsi KonstanFungsi f disebut fungsi konstan, jika terdapat suatu bilangan konstan csehingga berlaku f(x) = c, untuk setiap x pada daerah asal. Contoh 3.3.1Diketahui fungsi konstan f(x) = 3, untuk setiap x∈¡.a. Carilah f(0), f(7), f(1), dan f(a).b. Carilah daerah hasilnya.c. Gambarlah grafiknya.Penyelesaian:a. Dari definisi f, kita peroleh:f(0) = 3, f(7) = 3, f(1) = 3, dan f(a) = 3.Semua elemen di daerah asal berkawan dengan 3.b. Daerah hasilnya adalah Rf = {3}.
137BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsic. GrafiknyaGambar 3.11Grafik Fungsi f(x) = 3W3.3.2 Fungsi IdentitasFungsi f disebut fungsi identitas, jika untuk setiap x pada daerah asal berlakuf (x) = x, fungsi ini sering disimbolkan dengan I. Contoh 3.3.2Untuk fungsi identitas I(x) = x, ∈¡x,a. carilah I(0), I(7), I(1), dan I(a)b. carilah daerah hasilnyac. gambarlah grafiknyaPenyelesaian:a. Dengan definisi I,I(0) = 0, I(7) = 7, I(1) = 1, dan I(a) = a.b. Daerah hasilnya adalah=¡fR.c. GrafiknyaGambar 3.12 Grafik Fungsi IdentitasW543213 2 1 0 1 2 3yxy = 3yx54321-1-2-3-4-5- 5-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
Matematika Kelas XI - IPS SMA1383.3.3 Fungsi LinearFungsi f disebut fungsi linear, jika f mempunyai bentuk f(x) = ax + b, untuksemua x dalam daerah asal, dengan a dan b konstan, dan ≠0a. Grafik fungsi linearberbentuk garis lurus, yang mempunyai persamaan y = ax + b.Contoh 3.3.3Diketahui fungsi f(x) = 3x + 6,x∈¡.a. Carilah f(0), f(2), dan f(a + b).b. Gambarlah grafiknya.c. Carilah daerah hasilnya.Penyelesaian:a. Dari f(x) = 3x+ 6, kita peroleh:f(0) = 3 · 0 + 6 = 6,f(2) = 3 · 2 + 6 = 12,f(a + b) = 3(a + b) + 6 = 3a + 3b + 6.b. Grafik fungsi y = f(x) = 3x + 6 adalah: Gambar 3.13Grafik Fungsi f(x) = 3x + 6c. Dari grafik tampak bahwa daerah hasilnya adalah fR=¡.W3.3.4 Fungsi KuadratJika fungsi f dapat dinyatakan sebagai f (x) = ax2 + bx + c, untuk setiap x dalamdaerah asal, dengan a, b, dan c konstan dan 0a≠, maka fungsi f disebut fungsikuadrat. Grafik fungsi kuadrat mempunyai persamaan y = ax2+ bx + c, yangberbentuk parabola. Kita ingat kembali pelajaran pada kelas X, bahwa:a. Grafik fungsi y = ax2+ bx + c mempunyai titik balik dengan koordinat:(),24bDaa−, dengan 24Db ac=−b. Jika a > 0, maka diperoleh titik balik minimum. Jika a < 0, maka diperoleh titikbalik maksimum.c. Sumbu simetrinya ialah 2bxa=−yx8632-2 -3 -2 -1 1 2
139BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers FungsiContoh 3.3.4Diketahui =− + +2()6fx x x, ∈¡x.a. Carilah f(0), f(3), f(a), dan f(a + 2).b. Gambarlah grafiknya.c. Carilah daerah hasilnya.Penyelesaian:a. Dari rumus fungsi yang diberikan,2()6fx x x=− + +, sehingga:f(0) = 6f(3) = 32 + 3 + 6 = 0f(a)= a2 + a + 6f(a + 2) = (a + 2)2 + (a + 2) + 6 = a2 + 3a + 4b. Untuk menggambarkan grafiknya, kita ikuti langkah-langkah berikut.(1) Titik potong grafik dengan sumbu x, yaitu untuk y =f (x) = 0,f(x)= 0⇔ x2 + x + 6 = 0⇔ x2 + x + 6 = 0⇔(x 3)(x + 2) = 0⇔x = 3 atau x = 2Jadi, titik potong grafik dengan sumbu x adalah (3,0) dan (2 ,0).(2) Titik potong grafik dengan sumbu y, yaitu untuk x = 0, x = 0 ⇔f(x) = 6Jadi, titik potong grafik dengan sumbu y adalah (0,6).(3) Dari rumus fungsi kita peroleh D = b2 ax = 12 4(1)(6) = 25, sehingga:1122(1)2ba−=− =− dan −=− =−2 51344(1)2DaJadi, titik baliknya adalah 113,22⎛⎞⎜⎟⎝⎠.(4) Sumbu simetri: =− =122bxa.(5) Grafik fungsi f(x) = x2 + x + 6 adalah:Gambar 3.14Grafik Fungsi f(x) = x2 + x + 6c. Dari grafik tampak bahwa daerah hasilnya adalah {}|13/2fRy y=∈ ≤¡.Wyx642-2-4-6-3 -2 -1 1 2 3 4[Daerah hasil
Matematika Kelas XI - IPS SMA1403.3.5 Fungsi Mutlak atau Fungsi ModulusNilai mutlak atau modulus dari a, dinotasikan a, dibaca nilai mutlak a,didefinisikan sebagai: , untuk 0 , untuk 0aaaaa⎧⎪⎨⎪⎩≥=−<Dengan definisi ini, maka kita mempunyai:=33, −=−− =1(1)1, 52523−=−=, dan −=−− =2 5(2 5)3.Fungsi yang rumusnya memuat nilai mutlak disebut fungsi mutlak ataufungsi modulus.Contoh 3.3.5Diketahui fungsi f dengan dengan ()fx x=.a. Carilah f(0), f(2), f(5), f(a2), dan f(3x + 1).b. Gambarlah grafiknya.c. Carilah daerah hasilnya.Penyelesaian:a. Dengan memperhatikan definisi nilai mutlak, kita peroleh: f(0) = 0, f(2) = (2) = 2, f(5) = 5,f(a2) = a2, karena 20a≥ untuk setiap a∈¡,++≥+≥−⎧⎧+==⎨⎨−++< −−<−⎩⎩ 3 1 , untuk 3 1 0 3 1 , untuk 1/3(3 1)(3 1) , untuk 3 1 0 3 1) , untuk 1/3xxxxfxxxxxb. Grafik fungsi ()fx x= adalah:Gambar 3.15Grafik Fungsi=()fx xc. Dari grafik tampak bahwa daerah hasilnya adalah {}=∈ ≥¡|0fRy yW-3 -2 -1 1 2 3yx321
141BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers FungsiContoh 3.3.6Gambarlah grafik fungsi=−2() 1fx x. Tentukan pula daerah hasilnya.Penyelesaian:Dari rumus yang diberikan kita dapat menyatakan kembali f sebagai:⎧⎧+−−≥+≤−≤⎪⎪==⎨⎨−−−<−−<<⎪⎪⎩⎩22222 23 1 , untuk 1 0 2 , untuk 1 atau 1 ()3 ( 1) , untuk 1 0 4 , untuk 1 1 xxxxxfxxx x xGrafiknya adalah:Gambar 3.16Grafik Fungsi=−2() 1fx xKarena −≥210x untuk semua∈¡x, maka =+ −≥2() 3 1 3fxx. Dengan demikiandaerah hasilnya adalah {}=∈ ≥¡|3fRy y.W3.3.6 Fungsi Tangga atau Fungsi Nilai Bulat TerbesarFungsi tangga atau fungsi nilai bulat terbesar didefinisikan sebagai§ ̈()fx x= untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Notasi § ̈x dibaca nilaibulat terbesar x, didefinisikan sebagai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atausama denganx. Sebagai contoh,§ ̈33=, karena 3 adalah nilai bulat terbesar yang lebih kecil atau samadengan 3;§ ̈3,83=, karena 3 adalah nilai bulat terbesar yang lebih kecil atau samadengan 3,8;§ ̈0,6 0=, karena 0 adalah nilai bulat terbesar yang lebih kecil atau samadengan 0,6;§ ̈1,82−=−, karena 2 nilai bulat terbesar yang lebih kecil atau samadengan 1,8.Dengan demikian, setiap bilangan real x berada dalam suatu interval yang dibatasidua bilangan bulat dapat ditentukan nilai § ̈x. Sebagai contoh,yx -2 -1 1 254321
Matematika Kelas XI - IPS SMA142untuk interval 02x≤<, maka § ̈x = 0,untuk interval −≤ <10x, maka § ̈x = 1,untuk interval −≤ <−32x, maka § ̈x = 3.Dengan penjelasan di atas, grafik fungsi§ ̈=()fx x dengan daerah asal ¡ padabidang Cartesius dapat dilukiskan seperti pada Gambar 3.17.Gambar 3.17Grafik Fungsi § ̈=()fx xTerlihat pada Gambar 3.17 bahwa daerah hasil fungsi § ̈=()fx x adalahhimpunan bilangan bulat. Mengapa?3.3.7 Fungsi Genap dan Fungsi GanjilFungsi f dikatakan genap, jika berlaku f(x) = f(x). Fungsi f dikatakan ganjil,jika berlaku f(x) = f(x). Jika f(x) ≠f(x) dan f(x) ≠ f(x), maka fungsi f dikatakantak genap dan tak ganjil.Contoh 3.3.7Selidiki fungsi-fungsi berikut genap, ganjil, atau tidak keduanya.a.f(x) = x4 + x2 + 3, ∈¡xc. h(x) = cos x, ∈¡xb.g(x) = 2x + sin x, ∈¡xd. k(x) = x + 2, ∈¡xPenyelesaian:a. Perhatikan bahwa:f(x) = (x)4 + (x)2 + 3 = x4 + x2 + 3 = f(x)Jadi, f adalah fungsi genap.b. Dari sifat fungsi sinus,g(x) = 2(x) + sin(x) = (2x + sinx) = g(x)Jadi, g adalah fungsi ganjil.xy-3 -2 -1 0 1 2 3321-1-2
143BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsic. Dari sifat fungsi cosinus,h(x) = cos(x) = cos x = h(x)Jadi, h adalah fungsi genap.d. Jika k(x) = x + 2, maka k(x) = x + 2. Tampak bahwa k bukan fungsi genap danbukan fungsi ganjil.W1. Gambarkan grafik setiap fungsi berikut pada bidang Cartesius dalam daerah asal ¡.a.f(x) = 2d.f(x) = x2 9b.f(x) = 2xe.f(x) = 3x2 x2c.f(x) = 3 2xf.f(x) = x2 4x 122. Diketahui fungsi f(x) = (9)x dengan daerah asal himpunan bilangan bulat.a. Hitunglah f(3), f(2), f(1), f(0), f(1), f(0), dan f(3).b. Gambarkan grafik fungsi f pada bidang Cartesius.c. Tentukan daerah hasilnya.3. Gambarkan grafik setiap fungsi berikut pada bidang Cartesius dalam daerah asal ¡.a.() 3 1fx x=−c.2() 3fx x x=−b.() 1fxx=−d.()fx xx=4. Tentukan daerah hasil dari setiap fungsi pada soal nomor 3.5. Selidiki apakah setiap fungsi berikut ganjil, genap, atau tidak keduanya.a.f(x) = 2x4 3x2 + 1 c.()fx x=b.f(x) = 5x3 + 4xd.f(x) = x3 3x26. Pada hari libur, pengunjung pada suatu toserba mengikuti fungsi x = 215t 24t2, dengan xadalah jumlah pengunjung yang masuk ke toserba setelah jam ke-t. Jika toserba dibukamulai jam 08.00, jam berapa:a. pengunjung paling banyak masuk?b. tidak ada pengunjung?7.EkonomiHarga barang ditentukan oleh permintaan akan barang tersebut. Harga barang ditentukanoleh fungsi 2380px=−, dengan x adalah jumlah permintaan barang dan p dalam ribuan.a. Berapakah harga barang tersebut, apabila jumlah permintaan adalah 18 unit?b. Berapakah jumlah permintaan, jika harga barang Rp50.000,00?c. Gambarkan fungsi harga tersebut pada bidang Cartesius.d. Selidiki apakah fungsi p merupakan fungsi genap atau fungsi ganjil?8.EkonomiDiketahui fungsi permintaan suatu barang p = 48 4x 3x2 dan fungsi penawaran p = x2 +4x + 16, dengan p adalah harga (dalam ribuan) dan x adalah jumlah barang.a. Tentukan titik keseimbangan antara permintaan dan penawaran.b. Tentukan titik keseimbangan dari harga.c. Berapakah jumlah permintaan dan penawaran, jika harga barang Rp28.000,00?Latihan 3.3
Matematika Kelas XI - IPS SMA1443.4 Sifat-Sifat FungsiTerdapat tiga sifat penting dari fungsi yang akan kita pelajari, yaitu fungsi satu-satu, fungsi pada, dan fungsi pada dan satu-satu.3.4.1 Fungsi Satu-satu (Injektif)Kita perhatikan ketiga diagram panah fungsi dari himpunan A ke himpunanB berikut ini.Gambar 3.18Ketiga diagram pada Gambar 3.18 mendefinisikan suatu fungsi, tetapi fungsi (a)dan (b) mempunyai sifat bahwa setiap dua elemen dari A yang berbeda dipetakanke elemen yang berbeda pula di B. Tetapi untuk fungsi (c) ada dua elemen, yaitu1 dan 3 dipetakan ke elemen yang sama, yaitu d. Fungsi (a) dan (b) semacam inidisebut fungsi satu-satu, sedangkan fungsi (c) bukan fungsi satu-satu, yangdefinisinya diberikan berikut.Definisi 3.4Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dikatakan satu-satu atauinjektif, jika untuk setiap ∈,ab A, dengan ≠ab berlaku:≠() ()fa fbEkuivalen dengan definisi di atas, fungsi f dari A ke B adalah fungsi satu-satujika untuk f(a) = f(b), maka a = b.Contoh 3.4.1Diketahui f(x) = x2, ∈¡x. Apakah f tersebut fungsi satu-satu?Penyelesaian:Jika kita ambil a = 2 dan b = 2 , maka jelas ≠ab. Tetapi,f(a) = (2)2 = 4 = 22 = f(b)Jadi, f bukan fungsi satu-satu.WContoh 3.4.2Diketahui f(x) = x3, ∈¡x. Tunjukkan bahwa fungsi f satu-satu.1234AB AB AB1234123abcdabcdabcd(a) (b) (c)
145BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers FungsiPenyelesaian:Kita ambil sembarang a, b∈¡ sehingga f(a) = f(b). Perhatikan bahwa:f(a) = f(b) ⇒a3 = b3⇒a = bJadi, f adalah fungsi satu-satu.W3.4.2 Fungsi Pada (Surjektif atau Onto)Kita perhatikan ketiga diagram panah fungsi dari himpunan A ke himpunanB berikut.Gambar 3.19Ketiga relasi pada Gambar 3.19 adalah fungsi. Fungsi (a) dan (c) bersifatbahwa untuk setiap elemen himpunan daerah kawan B merupakan peta dari setiapelemen dari daerah asal A. Fungsi yang demikian disebut fungsi pada. Tetapiuntuk fungsi (b) terdapat elemen d dari dearah kawan B yang tidak mempunyaikawan di A, fungsi seperti ini kita katakan fungsi bukan pada. Definisi lengkapnyadiberikan berikut ini.Definisi 3.5Diberikan fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dikatakanpada atau surjektif atau onto, jika diambil sembarang elemen∈bB terdapat elemen ∈aA, sehingga:f(a) = bDengan kata lain, fungsi f dari A ke B merupakan fungsi pada, jika daerahhasil dari f sama dengan daerah kawan dari f, yaitu f(A) = B.Contoh 3.4.3Tunjukkan bahwa f bukan fungsi pada, tetapi g fungsi pada, jika:a.f :→¡¡ dengan f(x) = x2 + 1b.g :→¡¡ dengan g(x) = x3AB AB1234abcdAB1234abcd1234abc (a) (b) (c)
Matematika Kelas XI - IPS SMA146Penyelesaian:a. Fungsi fbukan fungsi pada karena terdapat −∈¡1, tetapi tidak ada ∈¡xsehingga f(x) = 1.b. Jika diambil ∈¡y, maka terdapat =∈¡13xy sehingga g = (x)()313y = y. Jadi,g fungsi pada.3.4.3 Fungsi Bijektif atau Korespondensi Satu-satuGambar 3.20 adalah diagram panah dari suatu fungsi pada sekaligus fungsisatu-satu dari himpunan A = { 1, 2, 3, 4} ke himpunan B = { p, q, r, s}. Fungsi yangmemenuhi dua sifat ini disebut fungsi bijektif.Gambar 3.20Definisi 3.6Diberikan fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dikatakatanbijektif atau korespondensi satu-satu, jika f merupakan fungsipada dan satu-satu.Definisi ini mengakibatkan bahwa jika f fungsi bijektif dengan himpunan Adan B himpunan berhingga, maka himpunan A dan himpunan B mempunyaibanyak anggota yang sama.Contoh 3.4.4a. Jika kita ingin melihat suatu pertunjukan, setiap pengunjung harus membelikarcis, maka terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan penontondengan himpunan karcis mereka.b. Setiap negara mempunyai satu ibukota negara. Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan negara dengan himpunan ibukota negara.AB1234pqrs
147BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi1. Dari fungsi-fungsi berikut, manakah yang merupakan fungsi satu-satu, pada, atau bijektif?Gambar 3.212. Dari setiap fungsi berikut, manakah yang merupakan fungsi satu-satu, fungsi pada, ataufungsi bijektif, jika daerah asalnya A = {a, b, c, d}.a.f = {(a, 1), (b, 3), (c, 5), (d, 6)}, dengan daerah kawan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.b.f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 1)}, dengan daerah kawan B = {1, 2, 3}.c.f = {(a, 4), (b, 3), (c, 2), (d, 1)}, dengan daerah kawan B = {1, 2, 3, 4}.d.f = {(a, 1), (b, 2), (c, 2), (d, 4)}, dengan daerah kawan B = {1, 2, 3, 4}.3. Tentukan apakah dari setiap fungsi yang diberikan adalah satu-satu, pada, atau bijektif.a. f (x) = 5c.f (x) = 3 x2b. f (x) = 2x + 3d.=−() 2fx x4. Carilah contoh di kehidupan sehari-hari suatu relasi yang merupakan fungsi satu-satu,pada, atau bijektif.5. Diberikan data hasil penjualan laptop (dalam ribuan) dari suatu distributor selama 7 tahun.Misalkan A adalah himpunan tahun, B himpunan penjualan, dan fungsi f adalah pemetaandari A ke B, →¡:fA dalam bentuk pasangan terurut. Apakah f fungsi bijektif?Tahun2001 2002 2003 2004 200 52006 2007Penjualan 1 5 22 27 30 32 33 3 5Latihan 3.4 (d) (e) (f)1234abcd1234abcd1234abcd1234abcd1234abc1234abc (a) (b) (c)
Matematika Kelas XI - IPS SMA1486. Suatu supermarket memberikan potongan harga yang berbeda kepada pembeli untuk setiappembelian Rp50.000 dan kelipatannya. Potongan harga bertambah 5% setiap pembeliannaik Rp50.000. Potongan harga dimulai dari pembelian Rp50.000 mendapat potongan 2,5%,dan potongan harga maksimum adalah 40%. Misalkan A adalah himpunan jumlah pembeli,B himpunan besarnya potongan harga, dan fungsi f adalah pemetaan dari A ke B, →¡:fAdalam bentuk pasangan terurut. Tentukan apakah fungsi f adalah fungsi satu-satu, fungsipada, atau fungsi bijektif?3.5 Aljabar FungsiKita dapat membayangkan bahwa kedudukan fungsi-fungsi sebagaimana bilanganreal, yang di dalamnya berlaku operasi aljabar penjumlahan, perkalian, dan pembagian.Tentu saja perlu juga kita perhatikan daerah asal dari fungsi-fungsi yang dioperasikan.Untuk itu kita definisikan beberapa operasi aljabar dari fungsi-fungsi.Definisi 6.7Misalkan Df dan Dg masing-masing menyatakan derah asal f dan g, maka:1. Hasil kali skalar fungsi f dengan skalar bilangan real k adalah fungsi kf yangdidefinisikan sebagai (kf)(x) = kf(x), dengan daerah asal Dkf = Df .2. Jumlah fungsi f dan g adalah fungsi f + g yang didefinisikan sebagai (f + g)(x)= f(x) + g(x), dengan daerah asal gfgfDDD+=∩.3. Selisih fungsi f dan g adalah fungsi f g yang didefinisikan sebagai (f g)(x)= f(x) g(x), dengan daerah asal gfgfDDD−=∩.4. Perkalian fungsi f dan g adalah fungsi fg yang didefinisikan sebagai (fg)(x) =f(x)g(x), dengan daerah asal =∩.fgfgDDD.5. Pembagian fungsi f dan g adalah fungsi fg yang didefinisikan sebagai()()()ffxxggx⎛⎞⎜⎟⎝⎠=, dengan daerah asal fggfDDD=∩ dan () 0gx≠.Contoh 3.5.1Misalkan f(x) = x2 dan =+() 2gx x. Tentukan fungsi-fungsi berikut serta daerah asalnya.a. 4fc.fgb.f + gd.fgPenyelesaian:Daerah asal f adalah =¡fD, dan daerah asal g adalah {}=∈ ≥−¡|2gDx x, mengapa?Dengan Definisi 6.7, kita peroleh:a. (4f )(x) = 4f(x) = 4x2, dengan daerah asal ==¡4ffDD.b.+=+=++2( )() () ()2fgx fx gx x x, dengan daerah asal adalah Df + g = ∩fgDD={}∈≥−¡|2xx.
149BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsic.==+2( )() ()() 2fg x f x g x x x, dengan daerah asal Dfg = ∩fgDD = {}∈≥−¡|2xx .d. Nilai () 0gx≠ jika dan hanya jika x > 2, sehingga:⎛⎞==⎜⎟+⎝⎠2()()()2ffxxxggxxdengan daerah asal =∩fgfgDDD = {}∈>−¡|2xx.W1. Jika f(x) = x 5 dan g(x) = x2 1, tentukan fungsi-fungsi berikut serta daerah asalnya.a. 3fc.f gefgb.f + gd.fgf. (3f + g2)2. Untuk setiap dua fungsi yang diberikan, hitung f + g, fg, dan f/g.a.=()fx x dan g(x) = x2 + 1c.=()fx x dan =−() 3gx xb.+=−1()1xfxx dan () 1/gx x=d.=+1()1fxx dan =−()2xgxx3.IndustriMinuman suplemen proses produksinya melalui dua tahap, yaitu proses pengolahan danproses pengemasan. Biaya proses pengolahan mengikuti fungsi C1(x) = 30.000 + 100 danbiaya proses pengemasan adalah C2(x) = 15.000 + 50x, dengan x adalah banyaknya botol.a. Berapa total biaya yang diperlukan untuk membuat 1.000 botol minuman?b. Berapa selisih antara fungsi pengolahan dan fungsi biaya pengemasan?4.IndustriSetelah menekuni bisnis selama t tahun, seorang pengusaha traktor membuat 120 + 2t + 3t2buah traktor tiap tahun. Harga penjualan (dalam juta) tiap buahnya telah meningkat sesuaidengan rumus: 6.000 + 700t. Tuliskan rumus untuk pendapatan tahunan pengusahatersebut, R(t) setelah t tahun.5. Dua buah bolam lampu memberikan daya pijar yang bergantung pada besarnya daya listrikyang diberikan. Lampu I memberikan daya pijar sebesar +=23()2xfx, lampu II memberikandaya pijar sebesar g(x) = x2 + 5.a. Tentukan fungsi perbandingan daya pijar kedua bolam lampu.b. Jika daya listrik yang diberikan sebesar 20 watt, berapa daya pijar yang dihasilkanoleh kedua bolam lampu tersebut?c. Tentukan fungsi daya pijar yang dihasilkan oleh kedua bolam lampu tersebut jikadinyalakan bersamaan.Latihan 3.5
Matematika Kelas XI - IPS SMA1503.6 Komposisi FungsiMisalnya diketahui A = {1,2,3,4}, B = {a,b,c,d}, dan C = {p,q,r}. Misalkan fungsi f dari A keB dan g dari B ke C didefinisikan seperti diagram berikut.Gambar 3.22Dari dua fungsi itu, kita peroleh fungsi yang langsung memetakan himpunan A kehimpunan C seperti berikut.Gambar 3.23Fungsi yang langsung memetakan A ke C itu dapat dianggap sebagai fungsi tunggal,yang diagramnya tampak sebagai berikut.Gambar 3.24→→ABCABC1234abcdpqr1234abcdpqrabcdABAB→:fA B→:gB CAC1234pqr→o:gfAB
151BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers FungsiFungsi tunggal dalam ilustrasi di atas disebut fungsi komposisi. Operasinya disebutkomposisi atau pergandaan fungsi. Komposisi dari g dan f dinotasikan ogf. Perhatikanbahwa ogf adalah pergandaan yang mengerjakan f lebih dulu, baru diteruskan oleh g.Fungsi ogf dibaca sebagai fungsi g bundaran f.Dari contoh di atas, kita peroleh:====oooo( )(1)( )(3)()(2) ()(4)gf rgf pgf rgf rPenentuan itu dapat pula diperoleh dari f dan g, seperti berikut ini.============oooo( )(1) ( (1)) ( )( )(2) ( (2)) ( )( )(3) ( (3)) ( )( )(4) ( (4)) ( )gf gf ga rgf gf gc rgf gf gb pgf gf ga rSecara umum komposisi di atas dirumuskan sebagai:=o()()(())gfx gfxGambar 3.25 Komposisi Fungsi3.6.1 Syarat Agar Dua Fungsi Dapat DikomposisikanJika kita mempunyai dua fungsi, f dan g, apakah keduanya selalu dapatdikomposisikan? Kita perhatikan contoh berikut ini.Gambar 3.26ABCxf(x)g(f(x))1234abcdAB→:fA BAB→:gC Dabcpqr
Matematika Kelas XI - IPS SMA152Dari dua fungsi, f dan g, kita peroleh f(1) = d, tetapi g(d) tidak ada karena dbukan elemen dari C. Sekarang perhatikan dua fungsi berikut ini.Gambar 3.27Dari dua fungsi, f dan g, kita dapat membuat komposisinya karena setiappeta dari elemen A oleh f merupakan elemen dari C (daerah asal g).Dari dua contoh kasus di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa jika kitamempunyai dua fungsi tidak selalu dapat dikomposisikan. Lebih lanjut, daricontoh kedua kita menyimpulkan hasil berikut ini.Teorema 3.1Syarat fungsi g dan f dapat dikomposisikan, atau ogf ada, jikadaerah hasil dari f adalah himpunan bagian dari daerah asal darig, yaitu ⊆()gfA D.Misalkan g fungsi genap dan hfg=o , apakah h selalu genap? Misalkan g fungsi ganjildan hfg=o. Apakah h selalu ganjil? Bagaimana jika f ganjil? Bagaimana jika f genap?→:fA B→:gC DABCDxyzabcdabcdpqrTugas Mandiri
153BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers FungsiContoh 3.6.1Diketahui fungsi f dan g diberikan oleh diagram panah berikut.Gambar 3.28Gambarlah diagram panah dari ogf.Penyelesaian:Dari diagram panah di atas, kita peroleh:============oooo( )(1) ( (1)) ( )()(2)((2))()()(3)((3))()()(4)((4))()gf gf gc rgf gf gc rgf gf gb qgf gf gd qDiagram panah untuk ogf adalah:Gambar 3.29WContoh 3.6.2Fungsi f dan g dari ¡ ke ¡ dirumuskan oleh:f (x) = x 3 dan g(x) = x2Tentukan rumus untuk ogf.1 2 3 4a b c d a b c d p q rA B B C f : AB g : BC 1 2 3 4 p q rA C gf : AC
Matematika Kelas XI - IPS SMA154Penyelesaian:Dengan aturan komposisi,(ogf)(x) = g(f (x)) = g(x 3) = (x 3)2 = x2 6x + 9WContoh 3.6.3Diketahi f dan g dengan himpunan pasangan berurutan berikut. f= {(0, 2), (1, 3), (2, 4)} g= {(2, 3), (3, 4), (4, 6), (5, 7)}Tentukan ogf dan (ogf)(2).Penyelesaian:Dengan menghitung satu per satu,ogf = {(0,3), (1,4), (2,6)}sehingga: (ogf)(2) = g(f (2)) = g(4) = 6WContoh 3.6.4Fungsi f dan g pada ¡ didefinisikan sebagai berikut.f (x) = x + 5 dan g(x) = x2 + 3x + 1Hitung (ogf)(2) secara langsung.Penyelesaian:Dengan cara langsung (tanpa melalui rumus)(ogf)(2) = g(f(2))= g(2 + 5)= g(3)= 32 + 3(3) + 1 = 19WBuktikan bahwa operasi komposisi fungsi bersifat asosiatif, yaitu jika f, g, dan hsembarang, maka berlaku:)()(fg h f gh=ooooTugas Mandiri
155BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi3.6.2 Menentukan Komponen Fungsi Apabila Aturan KomposisinyaDiketahuiBerikut ini akan kita pelajari beberapa contoh untuk mencari komponenfungsi, apabila komposisinya diketahui. Prinsip dasar yang digunakan adalahdefinisi komposisi fungsi. Perlu kita catat di sini bahwa tidak semua kasus sepertiini dapat diselesaikan.Contoh 3.6.5Diketahui fungsi f dan g pada ¡ dengan g(x) = x 5.Tentukan fungsi f, jika:a. (ogf)(x) = 4x + 1b. (ofg)(x) = x2 + 3xPenyelesaian:a. Dari rumus komposisi fungsi, kita peroleh:(ogf)(x) = g(f(x)) = 4x + 1 = (4x + 6) 5Jadi, f(x) = 4x + 6, x∈¡.b. Dengan prinsip komposisi fungsi, kita peroleh:(ofg)(x) = f(g(x)) = x2 + 3x = (x 5)2 + 13(x 5) + 40Jadi, f(x) = x2 + 13x + 40, x∈¡.WContoh 3.6.6Diketahui fungsi f dan g pada ¡ dengan g(x) = x2 2. Tentukan f, jika (ogf)(x)= 4x2 + 4x 1.Penyelesaian:Dari definisi komposisi,(ogf)(x) = g(f (x)) = 4x2 + 4x 1Dipihak lain,g(f (x)) = (f(x))2 2sehingga:(f(x))2 2 = 4x2 + 4x 1⇒ (f(x))2= 4x2 + 4x + 1⇒= (2x + 1)2Jadi, f(x) = 2x + 1 atau f(x) = (2x + 1).Diskusikan dengan kelompok Anda untuk menentukan rumus nf apabila:0()( 1)fx xx=+, 10nnfff+=o, untuk n = 0, 1, 2, ...Tugas Kelompok
Matematika Kelas XI - IPS SMA1561. Diketahui fungsi f : →ABdan g : →BC yang ditentukan oleh diagram berikut.Gambar 3.30a. Tentukan (ogf)(a), (ogf)(b), (ogf)(c), dan (ogf)(d).b. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari ogf.2. Diketahui A = {p, q, r, s, t}, fungsi f dan g pada A yang ditentukan oleh:f = {(p, q), (q, s), (r, r), (s, p), (t, r)}g = {(p, s), (q, t), (r, q), (s, s), (t, p)}a. Tentukan (ogf)(p), (ogf)(r), (ogf)(s), dan (ogf)(t).b. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari ogf.3. Diketahui ()2fx x=− dan g(x) = x + 7. Tentukan setiap komposisi fungsi berikut sertadaerah asalnya.a.ofgb.ogfc.offd.ogg4. Ulangi pertanyaan soal nomor 3 untuk setiap pasangan fungsi berikut.a.=−() 2fx x dan g(x) = x2 2b. f (x) = x2 1 dan () 1/gx x=5. Diketahui f(x) = 3x 4 dan g(x) = 2x + a. Jika ogf = ofg, tentukan nilai a.6. Diketahui f : →¡¡dan g : →¡¡. Tentukan g(x), jika:a. f(x) = x 1 dan (ofg)(x) = 3x2 + 4xb.2() 5fx x=+ dan (ofg)(x) = x2 2x + 67. Diketahui f : →¡¡dan g : →¡¡. Tentukan f(x), jika:a.g(x) = x + 2 dan (ofg)(x) = 3x2 + 4xb.g(x) = 1 2x dan (ofg)(x) = x3 + 1c.g(x) = g(x) = 1/x dan +=−o1()() 2xfgxxLatihan 3.6abcdpqrsxyzACB
157BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi8. Tabel 6.1 Tinggi dan ukuran sepatu dari 5 orang modelTabel 6.2 Tinggi dan ukuran sepatu dari 5 orang pramugariMisalkan data pada Tabel 6.1 menyatakan fungsi f : Tinggi → Ukuran sepatu, dan Tabel6.2 menyatakan fungsi g : Ukuran sepatu → Tinggi.a. Gambarkan diagram fungsi ofg.b. Gambarkan diagram fungsi ogf.c. Tentukan daerah asal dan daerah hasil untuk fungsi-fungsi komposisi yang diperolehpada soal (a) dan (b). 3.7 Menentukan Invers FungsiPerhatikan fungsi f berikut ini.Gambar 3.31Jika fungsi f di atas kita balik, maka akan kita peroleh relasi berikut ini.Gambar 3.32Relasi R disebut invers fungsi f.Relasi R biasa dinotasikan dengan f 1. Apakah f 1merupakan fungsi? Ternyata bukan, mengapa?Tinggi (cm)168170 17 5178180Ukuran Sepatu 38 39 40 42 41Tinggi (cm)170 178168180 175Ukuran Sepatu 38 41 40 42 391234pqrsAB→:fA B→:RB ABA1234pqrs
Matematika Kelas XI - IPS SMA158Sekarang perhatikan fungsi g berikut ini.Gambar 3.33Jika fungsi g di atas kita balik, maka akan kita peroleh relasi g1 berikut ini.Gambar 3.34Perhatikan bahwa relasi g1 adalah fungsi pada B. Selanjutnya, invers fungsi yangmerupakan fungsi disebut fungsi invers. Beberapa penulis menyebut fungsi inverssebagai fungsi balikan.Dengan jalan pikiran yang sama seperti penyajian diagram panah, jika fungsi→:fA Bdinyatakan sebagai pasangan terurut:{}=∈ ∈(,)| dan fabaA bBmaka invers fungsi f adalah −→1:fBA yang ditentukan oleh:{}−=∈∈1(,)| dan fbabBaADari contoh di atas dapat kita simpulkan bahwa invers fungsi tidak harus merupakanfungsi. Tetapi, jika g1 adalah fungsi, maka untuk setiap ∈xA akan berlaku:−==o1()() ()AggxxIx ( dengan IA fungsi identitas pada A)dan untuk setiap ∈xB akan berlaku:−==o1()() ()Bgg x x I x (dengan IB fungsi identitas pada B)Kita perhatikan kembali fungsi f dan g pada dua contoh di atas. Kenapa f 1 bukanfungsi, tetapi g1 fungsi? Relasi f 1 bukan fungsi karena ada q elemen B yang mempunyaidua kawan yang berbeda, 3 dan 4 di dalam A. Hal ini disebabkan karena f fungsi yangtidak satu-satu. Sedangkan g1 adalah fungsi karena setiap elemen di dalam B mempunyaitepat satu kawan dalam A. Mudah kita pahami bahwa g fungsi satu-satu. Secara umumkita mempunyai sifat berikut ini.AB1234pqrs→:gA BBApqrs1234−→1:gBA
159BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers FungsiTeorema 3.2Misalkan f adalah fungsi dari A ke B, f 1 adalah fungsi invers dari fdari B ke A jika dan hanya jika f fungsi bijektif, dan−=o1AffI dan −=o1Bff IJika fungsi inversnya ada, maka fungsi invers tersebut dapat dicari dengan dua cara:a. Dengan membalik arah panah fungsi semula, apabila diagram panahnya diketahui.b. Dengan menggunakan prinsip: jika y = f(x), maka x = f 1(y).Contoh 3.7.1Diketahui fungsi f berikut ini.Gambar 3.35a. Gambar diagram panah dari f 1.b. Tentukan f 1(p), f 1(q), dan f 1(s).Penyelesaian:a. Dengan membalik arah panahnya kita peroleh f1,Gambar 3.36b. Dari diagram ini, f 1(p) = a, f 1(q) = c, dan f 1(s) = b.WabcdpqrsAB→:fA BpqrsabcdBA−→1:fBA
Matematika Kelas XI - IPS SMA160Contoh 3.7.2Diketahui fungsi f(x) = 2x + 5, ∈¡x.a. Tentukan rumus untuk f 1.b. Hitunglah f 1(0), f 1(2), dan f 1(3).Penyelesaian:a. Misalkan y =f(x),y = 2x + 5⇔ 2x= y 5⇔ x= −52y⇔ f1(y)= −52yJadi, rumus untuk f 1 adalah f 1(x) = −52x.b. Dari f 1(x) = −52x, kita peroleh:f 1(0) = −=−0 5 522, f 1(2) = −=−2 5322, dan f 1(3) = −−=−3542.WContoh 3.7.3Diketahui fungsi f(x) = +−324xx, untuk ≠2x. Tentukan rumus untuk f 1.Penyelesaian:Misalkany =f(x), untuk 2x≠,y = +−324xx⇔x + 3 = 2xy 4y⇔x 2xy = 3 4y⇔x(1 2y) = 3 4y⇔ x = −−+=−−34 4 312 2 1yyyyJadi, f 1(x) = +−4321xx untuk ≠1/2x.WDiketahui ()axbfxcx d+=+ dengan 0ad bc−≠.Tugas Kelompok
161BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsia. Tentukan rumus untuk 1f−.b. Mengapa disyaratkan 0ad bc−≠agar 1f− ada?c. Apa syarat a, b, c, dan d agar 1ff−=?Diskusikan dengan kelompok Anda.Pada bagian akhir ini, kita kembali kepada ilustrasi di awal bab tentang perusahaanyang memproduksi barang jadi melalui dua tahap, mesin I dan mesin II.Contoh 3.7.4Sebuah perusahaan menggunakan dua buah mesin untuk memproduksi bahan mentahmenjadi bahan jadi. Mesin I mengubah bahan mentah menjadi bahan setengah jadi, danmesin II mengubah bahan setengah jadi menjadi bahan jadi. Kinerja mesin I mengikutifungsi f(x) = 3x 2, sedangkan mesin II kinerjanya mengikuti fungsi g(x) = 5x + 18, denganx adalah banyak bahan mentah yang tersedia.a. Jika bahan mentah yang tersedia untuk produksi sebanyak 10 kg, berapa unit barangjadi yang dihasilkan?b. Jika proses produksi itu menghasilkan 683 unit barang jadi, berapa kg bahan mentahyang harus disediakan?Penyelesaian:a. Masalah ini merupakan aplikasi dari komposisi dua fungsi. Proses produksi daribahan mentah sampai menjadi barang jadi, menghasilkan:(ogf)(x) = g(f(x)) = 5(3x 2) + 18 = 15x + 8Untuk x = 10, (ogf)(10) = 15(10) + 8 = 158. Jadi, dengan bahan mentah sebanyak 10kg menghasilkan 158 unit barang jadi.b. Sebaliknya, masalah ini merupakan invers fungsi komposisi ogf. Dari jawaban (a)kita mempunyai:(ogf)(x) = 15x + 8sehingga memberikan:(ogf)1(x) = −815xUntuk x = 683 diperoleh (ogf)1(683) = −==6838675451 51 5. Jadi, untuk menghasilkan683 unit barang jadi diperlukan bahan mentah sebanyak 45 kg.W
Matematika Kelas XI - IPS SMA1621. Diketahui fungsi-fungsi dari A = {x, y, z } ke B = {1, 0, 1} sebagai berikut.Gambar 3.36d.f4 = {(x, 0), (y, 1), (z, 0)}e. f5 = {(y, 1), (z, 1), (x ,0)}f. f6 = {(z, 1), (x, 1), (y, 1)}.Dari setiap fungsi di atas, tentukan inversnya. Kemudian mana yang mempunyai fungsiinvers?2. Apakah setiap fungsi berikut mempunyai fungsi invers? Jika mempunyai fungsi invers,tentukan fungsi invers tersebut.a. f(x) = 5x 3d.f(x) = −26xb. f(x) = 1 x2e.f(x) = +xxc. f(x) = (4 x)33. Tentukan rumus untuk f1 dari setiap fungsi yang diberikan.a.f(x) = −1 3xc.f(x) = −34 +1xxb.f(x) = −253xd.f(x) = +533 +2xx4. Diketahui fungsi f(x + 1) = +−3 2xx, untuk ≠2x. Tentukan rumus untuk f 1 serta daerah asalnya.5. Diketahui f(x) =+−234 5xx, untuk ≠54x. Jika f 1 fungsi invers dari f, tentukan f 1(x 1).6. Diketahui f(x) = 2x + 7.a. Tentukan f 1.b. Dari f 1, kemudian tentukan ( f 1)1.c. Apa yang dapat Anda simpulkan?7. Tentukan f,jika:a.f 1(x) = x + 4b.f 1(x) = 3x 1c.f 1(x) = +31xLatihan 3.7x y zx y z -1 0 1 x y z -1 0 1 -1 0 1a. b c 1:fAB2:fA B3:fA B
163BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi8. Tentukan nilai konstanta k sehingga fungsi yang didefinisikan oleh:f(x) = ++3xxksama dengan fungsi inversnya.9. Tentukan rumus untuk (ofg)1 dan (ogf)1 untuk setiap f dan g yang diberikan.a.f(x) = 2x + 3 dan g(x) = 2 3xb.f(x) = +6 3x dan g(x) = x2, untuk ≥0x10. Suatu perusahaan telah menaksir bahwa biaya (dalam jutaan rupiah) memproduksi xbarang adalah:2( ) 10.000 0,001Cxx=+a. Jika barang yang diproduksi sebanyak 500, berapa total biaya yang diperlukan?b. Jika tersedia biaya sebesar 11 juta rupiah, berapa banyak barang yang dihasilkan?11. Pada suatu perusahaan, mesin I mengubah bahan mentah menjadi bahan setengah jadi,dan mesin II mengubah bahan setengah jadi menjadi bahan jadi. Kinerja mesin I mengikutifungsi f(x) = 2x, sedangkan mesin II kinerjanya mengikuti fungsi g(x) = 3x2 5, dengan xadalah banyak bahan mentah yang tersedia.a. Jika bahan mentah yang tersedia untuk produksi sebanyak 5 kg, berapa unit barangjadi yang dihasilkan?b. Jika proses produksi itu menghasilkan 427 unit barang jadi, berapa kg bahan mentahyang harus disediakan?1. Jika A dan B adalah dua himpunan tak kosong, maka produk Cartesius himpunanA dan B adalah himpunan {}(,)| dan BxyxA yBA×=∈∈.2. Suatu relasi atau hubungan dari himpunan A ke himpunan B adalah sembaranghimpunan bagian dari produk Cartesius AB×.3. Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yangmengawankan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Himpunan A disebutdaerah asal atau daerah definisi (domain), ditulis fD. Himpunan B disebut daerahkawan (kodomain), ditulis fK. Fungsi : ( )fx yfx→=, y disebut peta (bayangan)dari x oleh f atau nilai fungsi f, dan x disebut prapeta dari y oleh f. Himpunansemua peta dalam B disebut daerah hasil (range), ditulis fR.4. Beberapa fungsi khusus: fungsi konstan, fungsi identitas, fungsi linear, fungsikuadrat, fungsi mutlak atau fungsi modulus, fungsi tangga atau fungsi nilai bulatterbesar, fungsi genap, dan fungsi ganjil.5. Sifat-sifat fungsi: fungsi satu-satu (injektif), fungsi pada (onto atau surjektif), danfungsi pada dan satu-satu (bijektif).Rangkuman
Matematika Kelas XI - IPS SMA1646. Syarat fungsi g dan f dapat dikomposisikan, atau gfo ada, jika daerah hasil dari fadalah himpunan bagian dari daerah asal fungsi g, yaitu ()gfA D⊆.7. Misalkan f adalah fungsi dari A ke B, 1f− adalah fungsi invers dari f dari B ke A jikadan hanya jika f fungsi bijektif, dan 1AffI−=o dan 1Bff I−=o.8. Jika f dan g dua fungsi yang mempunyai fungsi invers dan komposisi keduanyaada, maka berlaku 111()fg g f−−−=ooPengkajian teori fungsi dipeloporioleh matematikawan Italia kelahiranPerancis, Joseph Louis Lagrangepada akhir abad ke-18. KemudianLouis Cauchy melanjutkan kajianLangrange tersebut pada awal abadke-19. Lebih lanjut, Cauchy jugamengembangkan penelitiannyatentang fungsi bernilai bilangankompleks. Hasil kerja keras Cauchyini kemudian dikembangkan olehdua matematikawan Jerman, yaituKarl Theodor Weierstrass danGeorge Friederich B. Riemann.Gambar 3.37Joseph Louis LagrangeSumber: www.sovlit.comGambar 3.38Karl Theodor WeierstrassSumber: engineeringmath.stanford.eduGambar 3.39George Friederich B.RiemannSumber: plus.maths.orgMath Info
165BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers FungsiI. PETUNJUKUntuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 15, pilihlah satu jawaban yangpaling tepat!1. Daerah asal fungsi +−=−256()2xxfxx adalah ....A.{}∈<¡|2xxD.{}∈≤− ≤<¡|6 atau 1 2xxxB.{}∈≤<¡|12xxE.{}∈≤−<¡|6 atau 1< 2xxxC.{}∈≤− ≤<¡|6 atau 1 2xxx2. Jika−<<⎧⎪=⎨+⎪⎩22 1 ,untuk 0 1()1 ,untuk yang lainxxfxxxmaka −+12(2) ( 4) ( ) (3)ff ff = ....A. 210B. 105C.85D. 55E. 523. Jika f(x) = 2x dan =− +(()) 12xfgx, maka g(x) = ....A.−12xD.−1(2)4xB.+12xE.−−1(2)4xC.−1(2 )4x4. Jika −=+1()1xfxx dan +=−221()1xgxx, maka f(g(x)) = ....A.x2D.−+2211xxB.x2 + 1C.x2 1E.+−2211xxUji Kompetensi
Matematika Kelas XI - IPS SMA1665. Jika f(x) = x + 2 dan (ofg)(x) = 2x2 + 4x + 1, maka g(x) = ... .A. 2x2 4x + 1D.8x2 + 8x + 1B. 2x2 12x + 1E. 4x2 8x + 1C.8x2 8x + 16. Jika f(x) = 2x, maka f(a + 2b c) = ... .A.f(a) + 2 f(b) f(c)D.+2() ()()fa fbfcB.2()()()fafbfcE.f(a + 2b) f(c)C.2()()()fafbfc7. Jika (ofg)(x) = 4x2 + 4x dan g(x) = x2 1, maka f(x 2) = ... .A. 2x 5D. 2x + 1B. 2x + 3E. 2x 1C. 2x 38. Jika (ofg)(x) = 4x2 + 8x 3 dan g(x) = 2x + 4, maka f1(x) = ... .A.x + 9D.++27xB.+2xE.−−223xxC.++21x9. Jika f(x) = +325x dan f1(3) = 4a + 1, maka nilai a adalah ... .A. 4D. 4B. 2E. 6C. 310. Jika titik (3, 2) terletak pada grafik fungsi invers f(x) = 2x2 + p, maka nilaip adalah ... .A. 5D. 6B. 1E. 15C. 511. Jika f(x) = 2x + 3, g(x) = x3 + 1, dan −=o1()()2fg a, maka nilai a adalah ... .A. 94D. 18B. 12E. 21C. 1512. Daerah hasil dari fungsi ++=−21()1xxfxx adalah ... .A.{}∈≤−≥¡|1 atau 7yyyD.{}∈≤≥¡|1 atau 7yyyB.{}∈≤−≥¡|7 atau 1yyyE.{}∈≤≥−¡|1 atau 7yyyC.{}∈−≤≤¡|17yy
167BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi13. Jika +=≠−21() , 33xfxxx dan f1 adalah fungsi invers dari f, maka−−1(2)fx = ... .A.1,22xxx+≠−D.35,44xxx−≠−B.23,55xxx−≠−E.21,33xxx+≠−C.22,11xxx−≠−+14. Jika =23() 2fx x dan =23()gx x, maka −o1()(2)gf = ... .A. 1/2D.2B.22E.22C. 115. Jika f(x) = 4x + 2 dan g(x) = 3, maka −o()(2)gf = ... .A. 6D. 6B. 3E. 14C. 3II. PETUNJUKUntuk soal nomor 16 sampai dengan nomor 20, kerjakan dengan singkatdan jelas!16. Diketahui fungsi f dan g yang diberikan oleh f(x) = 3 2x dan g(x) = x2 + 1.a. Tentukan o()(2)gf.b. Jika =o()()2gfa, tentukan nilai a.17. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi −+=−2221()16xxfxx.18. Misalkan f(x) = 1/x dan −=3(())2xfgxx, ≠0x, ≠3x. Tentukan −1()gx.
Matematika Kelas XI - IPS SMA16819. Hubungan antara biaya P (dalam rupiah) untuk suatu barang tertentudengan permintaan D (dalam ribuan unit) mengikuti fungsi=−+229 3PDD.Di pihak lain, permintaan meningkat selama t tahun sejak tahun 2000menurut =+2Dt.a. Nyatakan P sebagai fungsi dari t.b. Hitung P, jika t = 25.20. Suatu penelitian mengenai hubungan obat anti asam urat dengan jumlahasam urat dalam tubuh dinyatakan dalam fungsi f(x) = 256 4x2, dengan xadalah dosis obat anti asam urat (dalam gram) dan f(x) adalah tingkat jumlahasam urat.a. Tentukan daerah asal f yang mungkin.b. Berapa tingkat asam urat tubuh, jika diberikan obat anti asam uratsebanyak 6 gram?c. Jika seseorang memiliki tingkat asam urat sebesar 112, berapa banyakdosis obat anti asam urat yang diberikan?
169BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi1. Rumus 5(32)9CF=−, dengan 459, 67F≥− menyatakan suhu Celcius (C)sebagai fungsi dari suhu Fahrenheit (F). Tentukan rumus untuk fungsiinversnya dan berikan interpretasinya. Apa daerah asal fungsi invers ini?2. Suatu pesawat terbang melaju pada kecepatan 350 km/jam pada ketinggiansatu mil dan lewat tepat di atas stasiun radar pada saat t = 0.a. Nyatakan jarak mendatar d (dalam mil) yang telah ditempuh pesawatsebagai fungsi waktu.b. Nyatakan jarak s antara pesawat dan stasiun radar sebagai fungsi dari d.c. Gunakan komposisi untuk menyatakan s sebagai fungsi dari t.3. Fungsi permintaan suatu barang tertentu adalah:2120px+− =dengan x banyak barang yang diminta. Tentukan fungsi pendapatan totalnya.Tentukan daerah asal dari fungsi ini.4. Suatu perusahaan meja tulis dioperasikan dengan persaingan sempurna dandapat menjual semua meja tulis yang dibuatnya dengan harga Rp200.000,00per meja. Misalkan x meja tulis dibuat dan dijual setiap minggu dan C(x)(dalam jutaan) menyatakan biaya total produksi setiap minggu dengan C(x)= x2 + 400x + 3.000. Jika dalam seminggu menghasilkan 175 meja, berapakahkeuntungan perusahaan tersebut?5. Sebuah toko dalam seminggu menjual 200 kamera, masing-masing sehargaRp3.500.000,00. Survei pemasaran menunjukkan bahwa untuk setiappotongan Rp100.000,00 yang ditawarkan kepada pembeli, banyaknya kamerayang terjual akan bertambah sebanyak 20 buah seminggu. Tentukan fungsipermintaan dan fungsi keuntungan. Jika potongan yang diberikan adalahRp125.000,00, berapakah keuntungan toko tersebut?Soal Analisis
Matematika Kelas XI - IPS SMA170AktivitasNama :
..Tanggal :
.Kelas : XIMateri Pokok : Komposisi Fungsi dan Invers FungsiKelompok:
..Semester : 2 (dua)Kegiatan : Mensurvei harga barang jenis tertentuTujuan : Menentukan fungsi permintaan dan fungsi keuntungan.A. Alat dan bahan yang digunakan1. Toko barang jenis tertentu2. Alat tulis3. Buku catatanB. Cara kerja1. Buatlah kelompok yang beranggotakan 5 siswa.2. Lakukan survei terhadap toko yang menjual jenis barang tertentu yangterdekat dengan tempat tinggal Anda. Misalnya toko yang menjual TV,CD player, HP, dan lain-lain.3. Catat banyak barang yang terjual dalam satu minggu, berserta hargasatuannya.4. Konfirmasikan kepada pemilik toko, jika diberikan potongan harga Prupiah, maka berapa peningkatan penjualan? Namakan akibatpemotongan tambahannya adalah Q satuan per minggu.5. Lakukan langkah 2 sampai dengan 4 untuk mensurvei jenis barang 2.Isikan data hasil survei pada tabel di bawah ini.C. Analisis1. Jika x adalah banyaknya barang yang terjual tiap minggu, berapakahpertambahan penjualan per minggu akibat pemotongan harga?2. Tentukan penurunan harga untuk barang tambahan yang terjual setiapminggunya.3. Rumuskan fungsi permintaan (p) dan fungsi keuntungannya (R).4. Berapa penjualan per minggu agar diperoleh keuntungan maksimum?5. Berapa harga satuan yang berpadanan keuntungan maksimum tersebut?6. Berapa besar pemotongan harga toko tersebut sehingga diperolehkeuntungan maksimum?7. Tentukan invers fungsi p dan R.8. Lakukan langkah 1 sampai dengan 7 untuk jenis barang 2.Nama BarangHarga SatuanJumlah Penjualan per MingguTanpa Pemotongan Dengan PemotonganJenis Barang 1Jenis Barang 2Aktivitas Proyek